《黑塞矩阵与多元函数的泰勒公式》内容小结、题型与典型题

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1、海赛(黑塞)矩阵

设n元函数f(X)在点X处对于自变量的各分量的二阶偏导数

连续，则称矩阵

为f(X)在点X处的二阶导数或黑塞矩阵(Hessian Matrix).

【注】矩阵H为对称矩阵．

当n=2时，由二元函数f(x₁,x₂)的所有二阶偏导数构成的黑塞矩阵为

由二元函数f(x₁,x₂)的所有二阶偏导数组成．

2.多元函数的泰勒公式

设f(X)是n元函数，X₀∈Rⁿ，如果f(X)在X₀的某邻域内具有二阶连续偏导数，则对于点X₀的某邻域内的点X，存在常数θ(0<θ<1)，使得　

称上式为f(X)在点X₀处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式．

二阶带皮亚诺余项的泰勒公式：

如果函数f(X)在X₀处可微，则有一阶带皮亚诺余项的泰勒公式

一阶、二阶带皮亚诺余项的泰勒公式它们分别表明了在一定条件下，函数f(X)可以用线性函数和二次函数来近似．

3、二元函数的n阶泰勒公式展开

设z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内连续且有直到n+1阶的连续偏导数,(x,y)为此邻域内任一点，记

则有

以上公式也称为二元函数f(x,y)在点(x₀,y₀)的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式；当(x₀,y₀)=(0,0)时为麦克劳林公式；当余项取为o(ρⁿ)，则为n阶带皮亚诺余项的泰勒公式. 将h,k用

替换，即得关于变量x,y的表达式. 其中拉格朗日余项R_n为： 

参考课件节选

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